Diferencijalna geometrija
Autor: Jelena Sedlar
Nakladnik: Sveučilište u Splitu, Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije
Godina izdanja: 2026.
Cijena: --- EUR
Nakladnik:
Sveučilište u Splitu, Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije
Za nakladnika:
prof. dr. sc. Neno Torić
Tehnički urednik:
prof. dr. sc. Jelena Sedlar
Recenzenti:
izv. prof. dr. sc. Ivana Zubac
doc. dr. sc.Tanja Vojković
prof. dr. sc. Slavica Ivelić Bradanović
Udžbenici Sveučilišta u Splitu = Manualia Universitatis studiorum Spalatensis
Odlukom Senata Sveučilišta u Splitu, KLASA: 602-06/25-01/09, URBROJ: 2181-202-202-2-1/25-17 od 26. studenoga 2025. godine, za ovu knjigu odobrena je upotreba naziva sveučilišni udžbenik.
Elektroničko izdanje:
Split, 2026.
e-ISBN 978-953-8501-03-6
doi: 10.31534/9789538501036
Format: pdf
Veličina datoteke: 4,405 MB
Pristup: online
Udžbenik je u cijelosti dostupan na poveznici:
https://doi.org/10.31534/9789538501036
Sadržaj:
1 1. Osnovni pojmovi
4 2. Krivulje
4 2.1. Definicija krivulje
4 2.1.1. Parametrizirane krivulje
16 2.1.2. Eksplicitno zadane krivulje
16 2.1.3. Implicitno zadane krivulje
19 2.2. Frenetov trobrid
26 2.3. Fleksija i torzija
32 2.4. Frenetove formule
33 2.5. Fundamentalni teorem teorije krivulja
33 2.5.1. Neke posebne krivulje
39 2.5.2. Općenita krivulja
41 3. Plohe
41 3.1. Definicija plohe
41 3.1.1. Parametrizirane plohe
51 3.1.2. Eksplicitno zadane plohe
51 3.1.3. Implicitno zadane plohe
52 3.2. Vektor normale i tangencijalna ravnina
56 3.3. Krivulja na plohi
57 3.4. Prva fundamentalna forma plohe
59 3.4.1. Duljina luka krivulje na plohi
60 3.4.2. Kut između dviju krivulja na plohi
62 3.4.3. Površina omeđenog dijela plohe
66 3.5. Druga fundamentalna forma
69 3.5.1. Normalna zakrivljenost i Meusnierov teorem
74 3.5.2. Asimptotski smjerovi i asimptotske krivulje
76 3.5.3. Glavni smjerovi i glavne krivulje
80 3.5.4. Gaussova i srednja zakrivljenost
81 3.5.5. Klasifikacija točaka na plohi
83 3.5.6. Dupinova indikatrisa
85 3.5.7. Razvojne i minimalne plohe
86 3.5.8. Pravčaste plohe
89 3.6. Fundamentalne jednadžbe plohe
89 3.6.1. Pravila diferenciranja i Christoffelovi simboli
91 3.6.2. Fundamentalni teorem teorije ploha
93 3.6.3. Gaussov izvanredni teorem
96 3.7. Geodetska zakrivljenost i geodetske krivulje
96 3.7.1. Geodetska zakrivljenost
99 3.7.2. Geodetske krivulje
102 3.8. Preslikavanja ploha
104 3.8.1. Izometričko preslikavanje
105 3.8.2. Konformno preslikavanje
105 3.8.3. Ekvivalentno preslikavanje
Uvod
Ovaj udžbenik je nastao na temelju predavanja iz predmeta Diferencijalna geometrija koja držim duži niz godina na prijediplomskom studiju Geodezija i geoinformatika Fakulteta građevinarstva, arhitekture i geodezije u Splitu. Obzirom na to u izlaganju se koristi što je manje moguće složenih matematičkih pojmova kojima studenti tehničkih fakulteta ne vladaju, tako da ga mogu pratiti ne samo studenti studija Geodezija i geoinformatika nego studenti svih tehničkih fakulteta koji su odslušali osnovne matematičke predmete. No, udžbenik je precizno matematički pisan, sa preciznim iskazima i dokazima tvrdnji, tako da posve dobro može poslužiti i kao udžbenik na studiju matematike.
Postoji brojna literatura koja se bavi diferencijalnom geometrijom, ali obzirom da se tom sadržaju može pristupiti iz više različitih smjerova, knjige različitih autora mogu se jako razlikovati u načinu izlaganja do razine da se neupućenom čitatelju može činiti da se tu ne radi o istom sadržaju, čak niti sličnom. Zato su ovdje u popisu literature navedene samo neke od knjiga koje sadržaj izlažu na način koji je većinom ili barem dobrim dijelom sličan onome iz ovog udžbenika [1, 2, 6, 9]. Za praćenje sadržaja potrebno je osnovno poznavanje matematičke analize funcija jedne ili više varijabli te linearne algebre, a iako je na početku udžbenika dan pregled osnovnih pojmova koji se koriste, ipak su u popisu literature dodani i neki naslovi na hrvatskom jeziku koji pokrivaju taj sadržaj [4, 7, 8, 10], tako da se zainteresirani čitatelj može podsjetiti ili potražiti pojmove koji nisu spomenuti u tom ipak dosta sažetom pregledu iz uvodnog poglavlja.
Ne ubrajajući uvodno poglavlje u kojem je dan pregled osnovnih pojmova, udžbenik je podijeljen na dvije velike cjeline, jedna cjelina se bavi krivuljama, a druga plohama. Poglavlje o krivuljama započinje definiranjem parametrizirane krivulje, pri čemu se uvedu i neki popratni pojmovi i svojstva, a zatim se uvodi Frenetov trobrid koji daje smjerove zakrivljavanja i zasukivanja krivulje. Nakon toga slijedi uvođenje funkcija fleksije i torzije koje daju intenzitet zakrivljavanja i zasukivanja, a sve kulminira fundamentalnim teoremom teorije krivulja koji kaže da je krivulja u potpunosti određena fleksijom i torzijom do na položaj u prostoru.
Pri razmatranju ploha također krećemo od definicije parametrizirane plohe, ulogu Frenetovog trobrida kod ploha preuzima tangencijalna ravnina i normala, a za razmatranje daljnjih geometrijskih svojstava ploha ključne su dvije fundamentalne forme, od kojih je prva korisna kod izračunavanja duljine luka krivulje na plohi, kuta između dviju krivulja na plohi i površine omeđenog dijela plohe, dok je druga korisna kod izučavanja zakrivljenosti plohe. Kao i kod krivulja, izlaganje kulminira fundamentalnim teoremom teorije ploha. Osim toga, razmatraju se još i geodetske krivulje na plohi te preslikavanja ploha. Udžbenik je bogato ilustriran slikama, a svi pojmovi su popraćeni primjerima i zadacima koji pomažu kod usvajanja gradiva.
Autorica
(D.E., 13.3.2026.)